La gerente de una marca de jugos tiene cinco meses de datos: lo que gastó en publicidad y lo que vendió. Intuye que hay relación, pero necesita algo más que una intuición para pedir presupuesto: ¿cuánto vende de más por cada millón adicional en pauta? La regresión lineal responde exactamente esa pregunta.
La regresión lineal estima la relación entre una variable dependiente (la que quieres explicar, como las ventas) y una o más variables explicativas (como la publicidad o el precio). En su forma simple ajusta una recta: un intercepto, una pendiente y un término de error que recoge todo lo que la recta no explica.
El método estándar es el de mínimos cuadrados ordinarios (MCO): elige la recta que minimiza la suma de los errores al cuadrado entre los datos y la predicción. En la regresión simple la pendiente es la covarianza entre X y Y dividida por la varianza de X, y la recta siempre pasa por el punto de los promedios.
La pendiente se lee como un efecto marginal: cuánto cambia Y, en promedio, cuando X aumenta en una unidad. El intercepto es el valor estimado de Y cuando X vale cero, que a veces tiene sentido económico y a veces no. Con varias variables explicativas cada coeficiente se interpreta «manteniendo constantes las demás», lo que la vuelve una herramienta poderosa para separar efectos.
En finanzas aparece en todas partes: la beta de una acción es la pendiente de una regresión de sus rendimientos contra los del mercado; se usa para pronosticar ventas, estimar costos mixtos o probar si una variable macroeconómica explica la tasa de los TES. Su calidad se juzga con el R², la significancia de los coeficientes y el análisis de los residuos.
La fórmula
- variable dependiente de la observación i
- variable explicativa de la observación i
- intercepto y pendiente poblacionales; con gorro, sus estimaciones
- término de error
- promedios muestrales de X y Y
Publicidad y ventas de una marca de jugos
- Datos de cinco meses, en millones de pesos. Publicidad X: 1, 2, 3, 4, 5. Ventas Y: 12, 15, 19, 20, 24.
- Promedios: X̄ = 15 / 5 = 3; Ȳ = 90 / 5 = 18.
- Desviaciones de X: −2, −1, 0, 1, 2. Desviaciones de Y: −6, −3, 1, 2, 6. Productos: 12, 3, 0, 2, 12; suma = 29.
- Suma de desviaciones de X al cuadrado: 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10. Pendiente: β̂₁ = 29 / 10 = 2,9.
- Intercepto: β̂₀ = 18 − 2,9 × 3 = 18 − 8,7 = 9,3. Recta estimada: Ventas = 9,3 + 2,9 × Publicidad.
- Pronóstico con $6 millones de publicidad: 9,3 + 2,9 × 6 = $26,7 millones de ventas.
Cada millón adicional en publicidad se asocia con $2,9 millones más en ventas en estos datos; con cinco observaciones es una pista, no una prueba de causalidad.
El error más común
Leer la pendiente como un efecto causal sin más. Si la marca pauta más justo en los meses en que de todas formas vende más (diciembre, temporada de calor), la regresión atribuye a la publicidad lo que es estacionalidad: es un sesgo por variable omitida. El otro error es extrapolar fuera del rango de los datos: la recta estimada con 1 a 5 millones no dice nada confiable sobre invertir 50.