Un arriendo de $1.000.000 al mes, la cuota del carro, el aporte mensual a una pensión voluntaria. Tu vida financiera está llena de pagos iguales que se repiten. Las matemáticas financieras tienen un nombre para eso, y una fórmula que te ahorra sumar mes por mes.
Una anualidad es una serie de pagos iguales hechos a intervalos regulares, con una tasa de interés constante. A pesar del nombre, los pagos no tienen que ser anuales: pueden ser mensuales, trimestrales o semestrales. Lo que importa es que periodo de pago y tasa estén en la misma unidad.
Hay dos preguntas clásicas. La primera: ¿cuánto vale hoy un flujo de pagos futuros? Es el valor presente de la anualidad, y sirve para saber cuánto te pueden prestar con una cuota dada o cuánto vale un contrato de arriendo. La segunda: ¿cuánto acumulas si ahorras una suma fija? Es el valor futuro, la base de cualquier plan de ahorro.
Si los pagos ocurren al final de cada periodo, la anualidad es vencida (la cuota de un crédito); si ocurren al principio, es anticipada (el arriendo que se paga por adelantado). La anticipada vale más, exactamente (1 + i) veces la vencida, porque cada pago llega un periodo antes.
Despejando la cuota del valor presente obtienes la fórmula con la que los bancos calculan la cuota fija de un crédito. Anualidad y amortización son las dos caras de la misma moneda.
La fórmula
- valor presente de la serie de pagos
- valor futuro acumulado al final del último periodo
- pago periódico constante
- tasa de interés por periodo
- número de pagos
¿Cuánto vale hoy recibir $1.000.000 al mes durante tres años?
- Datos: C = $1.000.000, i = 1 % mensual, n = 36 meses, pagos al final de cada mes.
- Factor: (1 − 1,01^−36) / 0,01 ≈ 30,1075.
- VP = 1.000.000 × 30,1075 ≈ $30.107.505.
- Al revés: si pides prestados $30.000.000 al 1 % mensual a 36 meses, la cuota es 30.000.000 × 0,01 / (1 − 1,01^−36) ≈ $996.429.
- Aunque recibirás $36.000.000 en total, hoy ese flujo vale ≈ $30.107.505: la diferencia es el costo del tiempo.
Treinta y seis pagos de un millón no valen 36 millones hoy, valen unos 30. Cada peso que llega más tarde pesa menos.
Calcúlalo tú
El error más común
Mezclar unidades: usar una tasa anual con pagos mensuales, o una tasa nominal como si fuera efectiva. Si los pagos son mensuales, la tasa debe ser efectiva mensual y n debe contarse en meses. El otro error es aplicar la fórmula de anualidad vencida a pagos que se hacen al inicio del periodo, lo que subestima el valor.